II.1) Introduction

Comme a été indiqué au chapitre précédent, les circuits numériques fonctionnent selon le système de numération binaire, c'est-à-dire un mode dans lequel les tensions d'entrée et de sortie Î{0, 1}. Ces deux valeurs correspondent en fait, à des plages de tensions convenues à l'avance.

En effet, supposons qu'un circuit numérique soit alimenté sous 5V (DC) ; la tension de sortie peut donc varier entre 0V et 5V. Par convention, les tensions dont les valeurs sont proches de 0V seront associées au niveau logique bas (0) et celles proches de 5V au niveau logique haut (1).  Les seuils séparant les deux niveaux dépendent bien sur de la technologie utilisée (TTL, CMOS,...etc).

L'algèbre qui permet d'exprimer les effets qu'ont les divers circuits numériques, s'appelle l'algèbre booléenne (algèbre de Boole ou algèbre binaire). Contrairement à l'algèbre ordinaire, l'algèbre de Boole manipule des constantes et des variables qui ne peuvent prendre que deux états, 0 ou 1. Cette principale caractéristique, rend l'algèbre booléenne plus facile à "manipuler" que l'algèbre ordinaire. En effet, on ne retrouve que trois opérations élémentaires:

-          l'addition logique (opération OU) ;

-          la multiplication logique (opération ET) ;

       - la complémentation ou l'inversion logique (opération NON).

IL ne faut pas confondre les opérations logiques et les opérations arithmétiques.

Quand le niveau actif 1 est supérieur au niveau 0, la logique sera dite positive ; elle sera dite négative dans le cas contraire :

II.2) Les opérateurs logiques élémentaires

II.2.1 ) L'opérateur NON (inverseur)

Cette opération ne concerne qu'une seule variable binaire d'entrée. Par exemple, si on soumis une variable d'entrée x à une opération NON, le résultat (variable de sortie) est :

 (se lit x barre)

 - La table d'implication (ou table de vérité)

Une table d'implication, nous permet de connaître la réaction d'un circuit logique (variable de sortie) aux diverses combinaisons binaires appliquées aux entrées (variables d'entrées), pour les circuits logiques ayant plusieurs entrées et une seule sortie. Pour n variables, la table d'implication comporte 2ⁿ lignes représentant toutes les combinaisons de ces n variables.

En ce qui concerne l'opérateur NON, cette table n'est pas d'une très grande utilité car la sortie prennent le niveau logique opposé du niveau logique appliqué en entrée :

- Symboles graphiques

on utilise généralement l'un des deux symboles suivants :

- Le chronogramme statique

II.2.2) L'opérateur OU

(ou réunion dans la théorie des ensembles)

C'est un circuit ayant au moins deux entrées (E₁, E₂) et dont la sortie S est égale au produel logique (somme logique, OU ou OR) des entrées :

- La table d'implication (ou table de vérité)

A l'aide des deux entrées binaires, on obtient une table d'implication de 4 lignes (2², selon le système binaire bien évidement) :

- Le chronogramme statique

On peut aussi définir le fonctionnement d'un opérateur logique par un chronogramme statique, autrement dit, sans tenir compte du temps de propagation (par définition, c'est le temps que mette la sortie à changer d'état par rapport aux entrées) :

En comparant la table d'implication précédente à celle de l'addition arithmétique, on remarque qu'elles ne sont pas équivalentes (pour la dernière combinaison).

- Symboles graphiques

- Propriétés

On remarque tout d'abord que S = 1, si au moins une des deux variables est à 1. Cette caractéristique reste valable pour un nombre d'entrées > 2.

Les propriétés de cette opération :

·       Commutative : ;

·       Associative   : ;

·       Idempotente : ;

·       Elément neutre : ;

·       Cas particuliers :

II.2.3) L'opérateur ET

(ou intersection dans la théorie des ensembles)

Comme l'opérateur OU, ce circuit a au moins deux entrées (E₁, E₂) et une sortie (S) égale au produit logique (ET ou AND ) des entrées :

- La table d'implication (ou table de vérité)

- Le chronogramme statique

Contrairement au produel logique (somme logique), on remarque que, la multiplication logique (produit logique) donne le même résultat que la multiplication arithmétique.

-  Symboles graphiques

- Propriétés

S = 1, si et seulement si toutes les variables d'entrées sont à 1.

Cette opération possède les propriétés suivantes :

·       Commutative : ;

·       Associative   : ;

·       Idempotente : ;

·       Elément neutre : ;

·       Cas particuliers :

II.3) Les autres opérateurs logiques

II.3.1) L'opérateur NON-OU

 (c'est l'exclusion dans la théorie des ensembles)

C'est un circuit ayant au moins deux entrées (E₁, E₂) et dont la sortie (S) est égale au complément du produel logique (NON-OU ou NOR) des entrées :

- La table d'implication (ou table de vérité)

On obtient la table d'implication, en inversant l'état logique de la sortie de l'opérateur OU :

- Le chronogramme statique

- Symboles graphiques

- Propriétés

On remarque que S = 1, si toutes les variables d'entrées sont à 0.

Les propriétés de cette opération :

·       Commutative : ;

·       Associative   : ;

·       Idempotente : ;

·       Elément neutre : ;

·       Cas particuliers :

II.3.2) L'opérateur NON-ET

Ce circuit a au moins deux entrées (E₁, E₂) et une sortie (S) égale au produit logique complémenté (NON-ET ou NAND ) des entrées :

- La table d'implication (ou table de vérité)

- Le chronogramme statique

- Symboles graphiques

- Propriétés

S = 1, si et seulement si toutes les variables d'entrées sont à 0.

Cette opération possède les propriétés suivantes :

·       Commutative : ;

·       Non associative   : ;

·       Non idempotente ;

·       Pas d'élément neutre ;

II.3.3) L'opérateur OU EXCLUSIF

(ou comparateur de différence)

Cet opérateur a au moins deux entrées (E₁, E₂) et une sortie (S) égale à 1, si les entrées sont différentes, d'où son nom (comparateur de différence) :

-  La table d'implication (ou table de vérité)

- Le chronogramme statique

- Symboles graphiques

- Propriétés

Cette fonction est :

·       Commutative : ;

·       Associative   : ;

·       Non idempotente : ;

·       Elément neutre : ;

·       Cas particuliers :

II.3.4) Le complément du OU EXCLUSIF

(ou comparateur d'identité)

Il a au moins deux entrées (E₁, E₂) et une sortie (S) égale à 1, si les entrées sont identiques, d'où son nom (comparateur d'identité) :

- La table d'implication (ou table de vérité)

- Le chronogramme statique

- Symboles graphiques

- Propriétés

Cette fonction est :

·       Commutative : ;

·       Associative   : ;

·       Elément neutre : ;

·       Cas particuliers :

II.4) Résumé des opérateurs logiques

On exprime une fonction de sortie des opérateurs logiques (portes logiques) de plusieurs façons :

· Sous forme d'une équation booléenne ;

· Sous forme d'une table d'implication ;

· Sous forme d'un chronogramme ;

·  Sous forme de priorité (exemple : 0 1, qui se lit zéro implique un, ce qui signifie qu'une seule entrée à 0 suffit pour forcer la sortie à 1 (le principe reste le même pour les autres priorités).

II.5) Propriétés et théorèmes

·       Distributivité du produit par rapport au produel

·       Distributivité du produel par rapport au produit

·       Lois d'inclusion :

·       Théorème de DE MORGAN

·       Théorèmes de SHANNON

Prend l'état 1 si toutes les variables sont à 1.

Prend l'état 0 si toutes les variables sont à 0.

Toute fonction peut s'écrire :

Ces deux théorèmes permettent d'écrire toute fonction sous la forme :

 D’une somme (produel) de produits (åP) appelée 1^ère forme canonique ;

 D’un produit de sommes (På) appelée 2^ère forme canonique.

·       Complémentation d'une fonction

Pour complémenter une fonction, on remplace chaque variable par son complément (inversion), chaque OU par un ET et chaque ET par un OU ; par exemple :

Cette opération peut être symbolisée par :

II.6) Expression d'une fonction à partir de sa table d'implication

Pour obtenir une réalisation optimale d'une fonction logique quelconque, il faut bien évidement tenir compte des circuits disponibles, également de choisir le type et de minimiser au maximum le nombre d'opérateurs logiques. Autrement dit d'écrire la fonction sous une forme permettant de la réalisée aisément.

 Exemple : Soit la fonction F caractérisée par la table d'implication suivante :

A partir de cette table d'implication, on peut exprimer la fonction F de deux manières :

II.6.1) lecture sur les états 1

Si une variable est à 1, on l'écrit sous sa forme directe; si elle est à 0, on l'écrit sous sa forme complimentée.

F=1, si l'on a l'une des combinaisons l₂, l₃, l₅  et on a l₂=1 si =1 ET b=1ET =1....etc.

On obtient donc l'équation logique de la fonction F :

En observant l'équation précédente, on remarque que les trois variables sont présentent dans chaque terme et qu'elle est donnée sous la forme d'une somme (produel) de produits ; elle sera dite : 1^ère forme canonique (disjonctive).

II.6.2)  lecture sur les états 0

Si une variable est à 1, on l'écrit sous sa forme complimentée ; si elle est à 0, on l'écrit sous sa forme directe.

F=0, si l'on a l'une des combinaisons l₀, l₁, l₄, l₆, l₇  et on a l₀=0 si c=0 OU b=0 OU a=0....etc. On obtient dans ce cas la 2^ème forme canonique de la fonction F :

Cette lecture correspond en fait à celle de  sur les états 1 :

et d'après les théorèmes précédents (complémentation d'une fonction), on peut facilement obtenir la 2ème forme canonique (conjonctive) de la fonction F :

                             =

 Quelle forme canonique choisir ?

Une fonction logique exprimée sous sa première forme canonique est bien adaptée (après simplification) à une réalisation, uniquement à l'aide des opérateurs logique de type NON-ET (NAND). Si par contre, elle est exprimée sous sa deuxième forme canonique, elle peut être réalisée après simplification, uniquement avec des opérateurs logiques de type NON-OU (NOR).

Comment Retrouver une forme canonique à partir d'une équation simplifiée ?

Il suffit de compléter la ou les variables manquantes dans chaque terme sans modifier l'état de la fonction. Par exemple, pour la fonction logique, H₁,  de trois variables (a, b, c) et dont l'équation logique "simplifiée" :

la première forme canonique peut être obtenue de la manière suivante :

On remarque que le terme ajouté ne modifie pas la fonction, car ce terme vaut 1

II.7) Simplification des fonctions logiques

 Pourquoi simplifier ?

- pour réduire : la consommation, le volume physique et le coût ;

 Comment simplifier ?

-  en éliminant les redondances ;

-  en tenant compte des circuits disponibles ;

-          en essayant d'obtenir le minimum de couches.

II.7.1) Méthodes algébriques de simplification

Il s'agit d'utiliser les différents théorèmes et propriétés logiques, afin de simplifier une équation logique pour une éventuelle réalisation :

II.7.2) Simplification par le diagramme de Karnaugh

 Qu'est-ce qu'un diagramme de Karnaugh (D.K.) ?

C'est une table d'implication disposée de telle manière que deux termes adjacents logiquement soient aussi adjacents géométriquement. Autrement dit, on utilise le code binaire réfléchi (code de GRAY) pour remplir cette table.

a) Représentation graphique du D.K.

Pour n variables, le diagramme de Karnaugh comportera 2ⁿ  cases :

                   n = 2 n = 3                                                   n = 4

En conservant les mêmes conventions qu'à la lecture et en considérant une 1ére forme canonique ; les D.K. précédents deviennent :

Les cases peuvent être numéroter de la manière suivante (on place dans chaque case l'équivalent décimal de ses coordonnées binaires) :

b) Écriture dans le digramme de Karnaugh

On place un 1 dans les cases correspondant aux produits exprimés, pour une fonction mise sous la forme (åP).

Exemple 1 : soit la fonction régit par la d'implication :

le D.K.

Exemple 2 : soit la fonction F (c.f. II.6.1) exprimée à l'aide de sa 1^ère forme canonique :

    Le D.K. correspondant

Pour la 2^ème forme canonique de la fonction précédente (F) :

Le D.K. correspondant s'obtient en complémantant le précédent car .

On place un 0 dans les cases correspondant aux produels (sommes logiques) exprimés, pour une fonction mise sous la forme (På).

e) Simplification

· Cette méthode permet de simplifier une fonction :

- à partir d'une table d'implication ;

- à partir d'une équation booléenne simplifiée ou canonique ;

- à partir d'un chronogramme ;

            Il faut :

Regrouper le maximum de variables adjacentes (1 pour åP et  0 pour På) ;

Que le nombre de variables regroupées corresponde à une puissance de 2 ?

Que chaque variable soit utilisée au moins une fois.

f) Remarques :

- La simplification peut ne pas être unique.

- Les états indifférents peuvent être ignorés, utiliser partiellement ou totalement.

- Le D.K. ne permet pas de simplifier les fonctions XOR et XNOR.

- Le D.K. peut être utilisé pour retrouver une forme canonique à partir d'une forme simplifiée.